Родился в селе Пильно Старобардинского района Алтайского края. С ноября 1943 по май 1945 года служил в составе 76-го запасного стрелкового полка механиком-водителем Т-34. В августе-сентябре 1945-го участвовал в войне с Японией. Награждён орденом Отечественной войны II степени, медалями «За отвагу», «За боевые заслуги», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов», «За победу над Японией», медалью Жукова, юбилейными медалями Вооруженных Сил СССР и ведомственными трудовыми наградами. С 1964 года жил и работал в Южно-Сахалинске.
Земля алтайская
Тимофей Дробышев родился на Алтае, этот край в годы войны оставался одной из основных житниц страны, являясь крупным производителем хлеба, мяса, масла, меда, шерсти и других сельскохозяйственных продуктов. В 1941-м ему было всего 15, и, как все мальчишки, рвался на фронт. Окончил 7 классов, и в ноябре 1943 года был отправлен на военную службу в составе 76-го запасного стрелкового полка механиком-водителем Т-34 (по данным военных историков, полк дислоцировался в городе Бийске Алтайского края). Фронтовой путь танкиста Дробышева до августа 1945 года неизвестен, но, судя по наградам, он был героическим. В конце войны воевал на 2-м Дальневосточном фронте.
В августе 1945-го
В семье Дробышевых сохранились собственноручные воспоминания Тимофея Ивановича, где он рассказывает, с какими тяжёлыми боями и потерями его танковый батальон 214-й танковой бригады под руководством подполковника Тимиргалиева шел от полицейского поста Хандаса до Конумы (Новоалександровск). Из воспоминаний Тимофея ДРОБЫШЕВА: «…Командиром батальона был майор Радиошкин, командиром роты капитан Воронов, командиром взвода лейтенант Павлов, командиром танка лейтенант Сухоруков. Экипаж танка Т-34: я, механик-водитель (звание сержант), командир орудия Сорокин, заряжающий Мезенцев. Место нахождения – Онор. И вот 8 августа нам объявили тревогу. Мы в составе батальона с командиром Радиошкиным выехали к границе Хандаса, где и начали войну за освобождение Южного Сахалина. Когда мы прибыли к заставе (это наш пограничный пост – далее пограничная полоса и пост японской границы), уже везли раненых и убитых на телегах. Мы въехали на японский пост, который уже был взят нашими пограничниками и пехотой. Дальше были Харамитогские высоты. Не одни мы, танкисты, и пехота участвовала во взятии этих высот…
В эпицентре войны
После взятия Котона (Победино) нам была поставлена задача идти в разведку на Кетон (Смирных). Наш Т-34, еще один и три танка Т-26, всего пять танков. …Когда подъехали к городу – протекает речка и рядом завод лесопильный. И вот они (японцы) нас встретили огнем из всех видов оружия, стало как ночью, всё в дыму, в огне. У нас уже закончились снаряды и патроны к пулеметам. И только к вечеру вся танковая бригада и наши танковые войска прибыли к нам. Также японцы вернулись вместе с нашими войсками, парламентёры... Город Кетон был сожжён дотла. Мы двигались дальше, на пути были японские деревни, и все были пожжены, горели. Дальше японские войска стали сдаваться в плен, их было много. Солдаты (непонятное слово), а винтовки бросали в кучу». Тимофей Дробышев в своих воспоминаниях с обидой отмечает, что в истории освобождения 
Южного Сахалина слишком мало рассказано о 214-й танковой бригаде под руководством А.Т. Тимиргалиева, который награждён орденом Красного Знамени, и его подчиненные (их было 300 человек) орденами и медалями. «Ведь тогда сгорело в бою только 8 танков Т-26, а подбитых Т-34 – 5-6 танков. И убитые, и раненые бойцы тоже были», – написал Тимофей Иванович. Многие рядовые солдаты-герои той войны остались «за бортом» истории.
Остров и аэропорт
В 1945-м Дробышев продолжил службу на Сахалине вплоть до 1964 года (по данным военного билета, в в/ч 93112 ), был механиком-водителем танка Т-34, пока не уволился по выслуге лет. Затем долгие годы трудился механиком-водителем в аэропорту Южно-Сахалинска, отдавая свои знания, опыт и активную жизненную энергию, пока не ушел на заслуженный отдых. По словам дочери ветерана Ольги Тимофеевны Козубенко, ее мама Екатерина Андреевна Дробышева родилась 17 апреля 1929 года, на Сахалин они всей семьей приехали по вербовке из Белгородской области в конце 40-х. С Дробышевым они познакомились в 1948 году, Тимофей служил в танковой воинской части, а Екатерина там же, в районе Хомутово, работала дояркой в военном совхозе. 
В семье родилось пятеро детей, поэтому Екатерина Андреевна вечно занималась детьми, домашним хозяйством, держали кур и свиней, огород сажали. В зрелые годы работала продавцом в магазине. – А еще отец был гармонистом-самоучкой, помню, все праздники проходили под звуки его гармони, был душой компании, добрым человеком, – вспоминает дочь ветерана Ольга Козубенко. – Он не раз пытался рассказывать нам о войне, боялся, что «вот умру, и вы ничего знать не будете». Но мы, молодые, невнимательно слушали, не записывали. Отец умер 27 октября 2004 года, мама пережила его на несколько лет, умерла 19 апреля 2010, родители похоронены в селе Мицулевка. Супруги Дробышевы оставили богатый след на сахалинской земле, у них родилось 9 внуков и 13 правнуков.